آیا نمودارهای هر جفت از توابع با ضابطه‌های زیر بر هم منطبق‌اند یا خیر؟
۱) $y = \sin x$, $y = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$
۲) $y = \cos x$, $y = \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right)$
۳) $y = \cos x$, $y = \cos(2\pi - x)$
۴) $y = \sin x$, $y = \sin(5\pi - x)$
دو نمودار بر هم منطبق‌اند اگر ضابطه‌های آن‌ها از نظر مثلثاتی معادل باشند.
## ۱) $y = \sin x \text{ و } y = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$
از رابطهٔ زوایای متمم برای تفاضل استفاده می‌کنیم: $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$.
$$\cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \quad \text{زیرا } \cos(-\alpha) = \cos \alpha$$
$$\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$$
$$\text{نتیجه}: \mathbf{\text{منطبق‌اند}} \quad (\text{زیرا } \cos(x - \frac{\pi}{2}) = \sin x \text{ است.})$$
## ۲) $y = \cos x \text{ و } y = \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right)$
از رابطهٔ زوایای متمم برای جمع استفاده می‌کنیم:
$$\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$$
$$\text{نتیجه}: \mathbf{\text{منطبق‌اند}} \quad (\text{زیرا } \sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos x \text{ است.})$$
## ۳) $y = \cos x \text{ و } y = \cos(2\pi - x)$
چون تابع $\cos$ یک تابع با تناوب $2\pi$ است و $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$:
$$\cos(2\pi - x) = \cos(-x) = \cos x$$
$$\text{نتیجه}: \mathbf{\text{منطبق‌اند}} \quad (\text{زیرا } \cos(2\pi - x) = \cos x \text{ است.})$$
## ۴) $y = \sin x \text{ و } y = \sin(5\pi - x)$
$$\sin(5\pi - x) = \sin(4\pi + \pi - x) = \sin(\pi - x)$$
$$\sin(\pi - x) = \sin x$$
$$\text{نتیجه}: \mathbf{\text{منطبق‌اند}} \quad (\text{زیرا } \sin(5\pi - x) = \sin x \text{ است.})$$
با ذکر دلیل مشخص کنید کدام یک از گزاره‌های زیر درست و کدام نادرست‌اند.
الف) شکل زیر، نمودار تابع با ضابطهٔ $y = \frac{1}{2}\sin x$ را نشان می‌دهد.
ب) شکل زیر، نمودار تابع با ضابطهٔ $y = \cos x - \frac{1}{2}$ را نشان می‌دهد.
پ) برای رسم نمودار تابع با ضابطهٔ $y = 1 + \sin x$ کافی است نمودار تابع سینوس را به اندازهٔ یک واحد در راستای محور $x$ها انتقال دهیم.
ت) برای رسم نمودار تابع با ضابطهٔ $y = -\cos x$ کافی است نمودار تابع کسینوس را نسبت به محور $x$ها قرینه کنیم.
## الف) $\text{نمودار } y = \frac{1}{2}\sin x$
نمودار داده شده برای (الف) یک موج سینوسی است.
* **برد نمودار**: نمودار بین $-1$ و $1$ نوسان می‌کند. بنابراین، ماکزیمم آن $1$ و مینیمم آن $-1$ است.
* **ضابطهٔ $y = \frac{1}{2}\sin x$**: ماکزیمم این تابع $\frac{1}{2}$ و مینیمم آن $-\frac{1}{2}$ است. برد: $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.
$$\text{نتیجه}: \mathbf{\text{نادرست}} \quad (\text{برد نمودار داده شده } [-1, 1] \text{ است، در حالی که برد } y = \frac{1}{2}\sin x \text{ برابر } [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] \text{ است.})$$
---
## ب) $\text{نمودار } y = \cos x - \frac{1}{2}$
نمودار داده شده برای (ب) یک موج کسینوسی است.
* **برد نمودار**: نمودار بین $\frac{1}{2}$ و $-\frac{1}{2}$ نوسان می‌کند. مرکز نوسان محور $x$ است ($y=0$).
* **ضابطهٔ $y = \cos x - \frac{1}{2}$**: این تابع، نمودار $\cos x$ را $\frac{1}{2}$ واحد به پایین منتقل می‌کند. بنابراین، مرکز نوسان آن $y = -\frac{1}{2}$ و برد آن $[-1 - \frac{1}{2}, 1 - \frac{1}{2}] = [-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}]$ است.
$$\text{نتیجه}: \mathbf{\text{نادرست}} \quad (\text{مرکز نوسان نمودار داده شده } y=0 \text{ است، در حالی که مرکز نوسان ضابطه } y = -\frac{1}{2} \text{ است.})$$
---
## پ) رسم $y = 1 + \sin x$
برای رسم $y = 1 + \sin x$ (یا $y = \sin x + 1$) باید نمودار $\sin x$ را **۱ واحد در راستای محور $y$ها (عمودی) انتقال دهیم**.
$$\text{نتیجه}: \mathbf{\text{نادرست}} \quad (\text{انتقال باید در راستای محور } y \text{ها باشد نه } x \text{ها.})$$
---
## ت) رسم $y = -\cos x$
ضابطهٔ $y = -\cos x$ قرینهٔ ضابطهٔ $y = \cos x$ نسبت به **محور $x$** است.
$$\text{نتیجه}: \mathbf{\text{درست}} \quad (\text{تغییر علامت کل تابع باعث قرینه شدن نسبت به محور افقی می‌شود.})$$
با توجه به نمودار توابع سینوس و کسینوس، مشخص کنید هر یک از دو نمودار زیر کدام یک از ضابطه‌های داده شده را دارند. نمودار تابع با سایر ضابطه‌ها را نیز رسم کنید.
الف) $y = 2\cos x + 1$
ب) $y = 2\sin x - 1$
پ) $y = 2 - \cos x$
ت) $y = \sin x - 2$
برای تطبیق ضابطه‌ها با نمودارها، ویژگی‌های ماکزیمم، مینیمم، و نقطهٔ شروع در $x=0$ را بررسی می‌کنیم.
## ۱. تحلیل ضابطه‌ها
| ضابطه | ماکزیمم | مینیمم | مقدار در $x=0$ | ویژگی (مبنا: $\sin x$ یا $\cos x$) |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| **الف) $y = 2\cos x + 1$** | $2(1) + 1 = 3$ | $2(-1) + 1 = -1$ | $2\cos 0 + 1 = 3$ | کسینوسی، مرکز نوسان $y=1$ |
| **ب) $y = 2\sin x - 1$** | $2(1) - 1 = 1$ | $2(-1) - 1 = -3$ | $2\sin 0 - 1 = -1$ | سینوسی، مرکز نوسان $y=-1$ |
| **پ) $y = 2 - \cos x$** | $2 - (-1) = 3$ | $2 - 1 = 1$ | $2 - \cos 0 = 1$ | کسینوسی، قرینه شده، مرکز نوسان $y=2$ |
| **ت) $y = \sin x - 2$** | $1 - 2 = -1$ | $-1 - 2 = -3$ | $\sin 0 - 2 = -2$ | سینوسی، مرکز نوسان $y=-2$ |
---
## ۲. تطبیق نمودارها
* **نمودار سمت چپ (الف)**:
* ماکزیمم: $3$. مینیمم: $-1$. مقدار در $x=0$: $1$. مرکز نوسان: $y = 1$.
* **تطبیق**: با ضابطهٔ (پ) سازگار است. $(y = 2 - \cos x)$.
$$\mathbf{\text{نمودار (الف)} \longleftrightarrow y = 2 - \cos x}$$
* **نمودار سمت راست (ب)**:
* ماکزیمم: $1$. مینیمم: $-3$. مقدار در $x=0$: $-1$. مرکز نوسان: $y = -1$.
* **تطبیق**: با ضابطهٔ (ب) سازگار است. $(y = 2\sin x - 1)$.
$$\mathbf{\text{نمودار (ب)} \longleftrightarrow y = 2\sin x - 1}$$
---
## ۳. رسم نمودارهای باقیمانده
* **$y = 2\cos x + 1$ (الف)**:
* $\text{برد}: [-1, 3]$. $\text{نقطهٔ شروع}: (0, 3)$. $\text{مرکز نوسان}: y=1$.
* $\text{شروع از ماکزیمم } (0, 3) \text{ و عبور از } (\frac{\pi}{2}, 1) \text{ تا مینیمم } (\pi, -1)$.
* **$y = \sin x - 2$ (ت)**:
* $\text{برد}: [-3, -1]$. $\text{نقطهٔ شروع}: (0, -2)$. $\text{مرکز نوسان}: y=-2$.
* $\text{شروع از مرکز } (0, -2) \text{ و صعود تا ماکزیمم } (\frac{\pi}{2}, -1) \text{ و ادامه.}$
